Correction des exercices

Corrigés

Corrigé Exercice 1

a) Les trois aiguilles sont en rotation uniforme, de périodes respectives Th = 12 h = 43 200 s, Tm = 1 h = 3 600 s et Ts = 1 min = 60 s. Avec ω = 2π/T :
ω(heures) = 2π/43200 ≈ 1,45×10^(−4) rad·s^(−1) ; ω(minutes) = 2π/3600 ≈
1,75×10^(−3) rad·s^(−1) ; ω(secondes) = 2π/60 ≈ 0,105 rad·s^(−1).

b) Avec v = R×ω :
Aiguille des heures : v = 0,010 × 1,45×10^(−4) ≈ 1,45×10^(−6) m·s^(−1).
Aiguille des minutes : v = 0,015 × 1,75×10^(−3) ≈ 2,62×10^(−5) m·s^(−1).
Aiguille des secondes : v = 0,020 × 0,105 ≈ 2,09×10^(−3) m·s^(−1).

L’aiguille des secondes, bien que la plus courte de toutes celles comparées ici en durée de rotation, est de loin la plus rapide : c’est la période T, très courte, qui domine.

Corrigé Exercice 2

a) ω1 = N1 × (2π/60) = 300 × 2π/60 = 10π ≈ 31,4 rad·s^(−1).

b) La courroie est inextensible et ne glisse pas sur les poulies : chacun de ses points a
donc la même vitesse linéaire que le point de la poulie avec lequel il est en contact, aussi bien sur (P1) que sur (P2). Cette vitesse commune vaut v = r1×ω1 = 0,05 × 31,4 ≈ 1,57 m·s^(−1).

c) Pour (P2) : v = r2×ω2, donc ω2 = v/r2 = 1,57/0,15 ≈ 10,5 rad·s^(−1). En tours par minute :        N2 = ω2 × 60/(2π) ≈ 100 tr·min^(−1).

La poulie de plus grand rayon tourne trois fois moins vite (rapport des rayons r2/r1 = 3), conformément à r1ω1 = r2ω2.

Corrigé Exercice 3

a) ω = 2πf = 2π × 2,0 ≈ 12,6 rad·s^(−1). Période : T = 1/f = 0,50 s.
b) À la périphérie (r = R = 0,12 m) : v = R×ω = 0,12 × 12,6 ≈ 1,51 m·s^(−1). À r’ = 0,06 m : v’ = r’×ω = 0,06 × 12,6 ≈ 0,75 m·s^(−1).
c) v’ est environ deux fois plus petite que v, dans le même rapport que r’/R = 1/2 : à vitesse angulaire égale, la vitesse linéaire est proportionnelle à la distance à l’axe.

Corrigé Exercice 4

a) ω = 2π/T = 2π/86164 ≈ 7,29×10^(−5) rad·s^(−1).

b) Sur l’équateur, le rayon de la trajectoire est RT lui-même : v = RT×ω = 6,37×10^6 × 7,29×10^(−5) ≈ 464 m·s^(−1) (soit environ 1 670 km/h).

c) À la latitude φ = 45°, le rayon de la trajectoire circulaire est r = RT×cos(45°) = 6,37×10^6 × 0,707 ≈ 4,50×10^6 m. La vitesse angulaire est la même pour tous les points du globe (le solide Terre tourne d’un bloc) : v = r×ω = 4,50×10^6 × 7,29×10^(−5) ≈ 328 m·s^(−1). Un point s’éloignant de l’équateur vers les pôles décrit un cercle de rayon de plus en plus petit, donc sa vitesse linéaire diminue, bien que la vitesse angulaire de la Terre reste la même partout.

Corrigé Exercice 5

a) Entre deux instants consécutifs séparés de τ = 50 ms, l’angle balayé vaut systématiquement Δθ = π/4 rad : la variation d’abscisse angulaire est constante pour des durées égales, donc la vitesse angulaire est constante. Le mouvement de M est bien uniforme.

b) ω = Δθ/Δt = (π/4)/0,050 = 5π ≈ 15,7 rad·s^(−1). Comme θ0 = 0 à t0 = 0, l’équation horaire est θ(t) = 15,7 × t (θ en rad, t en s).

c) s(t) = R×θ(t) = 0,10 × 15,7 × t, soit s(t) = 1,57 × t (s en m, t en s) — on retrouve bien V = R×ω = 0,10 × 15,7 ≈ 1,57 m·s^(−1).

d) T = 2π/ω = 2π/15,7 ≈ 0,40 s ; f = 1/T ≈ 2,5 Hz.

Mati Pro — Mathématiques & Physique · Chapitre 01 ·