Correction joker — Défi (niveau supérieur)

Corrigé

a) Le diamètre vaut 3 km, donc le rayon r = 3/2 = 1,5 km = 1,5 × 10^3 m.

b) M = 10 × MS = 10 × 2,0×10^30 = 2,0 × 10^31 kg.

c) Force à la surface du trou noir :
F(trou noir) = G × (M × m) / r² = 6,67×10^(−11) × (2,0×10^31 × 1,0) / (1,5×10^3)²
= 1,334×10^21 / 2,25×10^6 ≈ 5,9 × 10^14 N.

d) Force à la surface du Soleil :
F(Soleil) = G × (MS × m) / RS² = 6,67×10^(−11) × (2,0×10^30 × 1,0) / (7,0×10^8)² = 1,334×10^20 / 4,9×10^17 ≈ 2,7 × 10^2 N.
Force à la surface de la Terre :
F(Terre) = G × (MT × m) / RT² = 6,67×10^(−11) × (5,98×10^24 × 1,0) / (6,38×10^6)²
= 3,99×10^14 / 4,07×10^13 ≈ 9,8 N (on retrouve bien F = m×g0, puisque m = 1,0 kg).

e) Rapports :
F(trou noir) / F(Terre) ≈ (5,9×10^14) / 9,8 ≈ 6,0 × 10^13 — soit environ 60 000 milliards de fois plus grand ! F(trou noir) / F(Soleil) ≈ (5,9×10^14) / (2,7×10^2) ≈ 2,2 × 10^12.

Commentaire. Bien que le trou noir soit 10 fois plus massif que le Soleil, il exerce une force des milliers de milliards de fois plus grande sur un même objet placé à sa surface. Cela s’explique par son rayon extrêmement petit (1,5 km, contre 700 000 km pour le Soleil) : la force de gravitation étant inversement proportionnelle au carré de la distance, concentrer une masse énorme dans un volume aussi réduit démultiplie considérablement l’attraction à sa surface. C’est cette gravité extrême qui empêche même la lumière de s’échapper d’un trou noir.

Mati Pro — Mathématiques & Physique · Chapitre 01 ·